La transformada de Laplace es una herramienta matemática fundamental para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. A continuación, se presentan 10 problemas resueltos con transformadas de Laplace, que cubren una variedad de temas y ejemplifican la aplicación de esta técnica en diferentes contextos.
1. Problema de valor inicial
Encuentre la solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:
y'' + 4y' + 3y = 0
con condiciones iniciales y(0) = 1 y y'(0) = 0.
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[y'' + 4y' + 3y] = L[0]
(s^2 + 4s + 3)L[y] = s + 4
Resolviendo para L[y], obtenemos:
L[y] = (s + 4) / (s^2 + 4s + 3)
La transformada inversa nos da la solución:
y(t) = e^(-t) + e^(-3t)
2. Problema de resonancia
Un sistema de masa-resorte está sometido a una fuerza externa sinusoidal. Encuentre la amplitud de la respuesta en resonancia.
La ecuación de movimiento es:
m x'' + k x = F0 cos(ωt)
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[m x'' + k x] = L[F0 cos(ωt)]
(m s^2 + k)L[x] = F0 / (s^2 + ω^2)
Resolviendo para L[x], obtenemos:
L[x] = F0 / (m s^2 + k)(s^2 + ω^2)
La transformada inversa nos da la respuesta en resonancia:
x(t) = (F0 / k) * (1 / (m * ω)) * sin(ωt)
3. Problema de amortiguamiento
Un sistema de masa-resorte tiene un coeficiente de amortiguamiento b. Encuentre la respuesta del sistema a una fuerza externa impulsiva.
La ecuación de movimiento es:
m x'' + b x' + k x = F0 δ(t)
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[m x'' + b x' + k x] = L[F0 δ(t)]
(m s^2 + b s + k)L[x] = F0
Resolviendo para L[x], obtenemos:
L[x] = F0 / (m s^2 + b s + k)
La transformada inversa nos da la respuesta del sistema:
x(t) = (F0 / m) * e^(-(b / 2m)t) * sin(ωt)
4. Problema de control
Un sistema de control tiene una función de transferencia G(s). Encuentre la respuesta del sistema a una entrada u(t).
La ecuación de control es:
y(t) = ∫G(s) u(t) dt
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[y(t)] = G(s) L[u(t)]
Resolviendo para L[y], obtenemos:
L[y] = G(s) U(s)
La transformada inversa nos da la respuesta del sistema:
y(t) = ∫G(s) u(t) dt
5. Problema de estabilidad
Un sistema de control tiene una función de transferencia G(s). Encuentre las condiciones para que el sistema sea estable.
La condición de estabilidad es:
|G(s)| < 1 para todos los s con Re(s) ≥ 0
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
|G(s)| = |L[G(s)]|
Resolviendo para G(s), obtenemos:
G(s) = 1 / (1 + G(s))
La condición de estabilidad se convierte en:
|1 / (1 + G(s))| < 1 para todos los s con Re(s) ≥ 0
6. Problema de filtros
Un sistema de filtrado tiene una función de transferencia H(s). Encuentre la respuesta del sistema a una entrada x(t).
La ecuación de filtrado es:
y(t) = ∫H(s) x(t) dt
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[y(t)] = H(s) L[x(t)]
Resolviendo para L[y], obtenemos:
L[y] = H(s) X(s)
La transformada inversa nos da la respuesta del sistema:
y(t) = ∫H(s) x(t) dt
7. Problema de Fourier
Un sistema tiene una función de transferencia G(s). Encuentre la respuesta del sistema a una entrada x(t) utilizando la transformada de Fourier.
La ecuación de Fourier es:
Y(ω) = G(ω) X(ω)
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[Y(ω)] = G(ω) L[X(ω)]
Resolviendo para L[Y], obtenemos:
L[Y] = G(ω) X(ω)
La transformada inversa nos da la respuesta del sistema:
y(t) = ∫G(ω) x(t) dt
8. Problema de convolución
Un sistema tiene una función de transferencia G(s). Encuentre la respuesta del sistema a una entrada x(t) utilizando la convolución.
La ecuación de convolución es:
y(t) = ∫G(t - τ) x(τ) dτ
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[y(t)] = G(s) L[x(t)]
Resolviendo para L[y], obtenemos:
L[y] = G(s) X(s)
La transformada inversa nos da la respuesta del sistema:
y(t) = ∫G(t - τ) x(τ) dτ
9. Problema de identificación
Un sistema tiene una función de transferencia G(s). Encuentre los parámetros del sistema utilizando la identificación de sistemas.
La ecuación de identificación es:
G(s) = N(s) / D(s)
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[G(s)] = L[N(s) / D(s)]
Resolviendo para L[G], obtenemos:
L[G] = N(s) / D(s)
La transformada inversa nos da la función de transferencia:
G(s) = N(s) / D(s)
10. Problema de optimización
Un sistema tiene una función de costo J(x). Encuentre el valor óptimo de x que minimiza la función de costo.
La ecuación de optimización es:
∂J(x) / ∂x = 0
Aplicando la transformada de Laplace, obtenemos:
L[∂J(x) / ∂x] = 0
Resolviendo para L[J], obtenemos:
L[J] = X(s)
La transformada inversa nos da la función de costo:
J(x) = ∫X(s) ds
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FAQ
¿Qué es la transformada de Laplace?
+La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
¿Qué es la función de transferencia?
+La función de transferencia es una herramienta matemática que describe la relación entre la entrada y la salida de un sistema.
¿Qué es la convolución?
+La convolución es una operación matemática que combina dos funciones para producir una tercera función.